Question

6．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁與底面垂直，∠ACB=90°，AC=BC，AA₁=AB=2，E，F(xiàn)分別是A₁C，AB₁的中點．
（Ⅰ）證明：EF∥平面ABC
（Ⅱ）求三棱錐E-B₁FC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)A₁B，與AB₁的交點即為F，推導(dǎo)出EF∥BC，由此能證明EF∥平面ABC．
（Ⅱ）三棱錐E-B₁FC的體積${V}_{E-{B}_{1}FC}$=$\frac{1}{2}$${V}_{E-{B}_{1}AC}$=$\frac{1}{2}{V}_{{B}_{1}-AEC}$，由此能求出三棱錐E-B₁FC體積．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）連結(jié)A₁B，與AB₁的交點即為F，
∵E、F分別是A₁C、A₁B的中點，
∴EF∥BC，
又EF?平面ABC，BC?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．
解：（Ⅱ）∵三棱錐E-B₁FC的體積：
${V}_{E-{B}_{1}FC}$=$\frac{1}{2}$${V}_{E-{B}_{1}AC}$=$\frac{1}{2}{V}_{{B}_{1}-AEC}$，
∵∠ACB=90°，AA₁=AB=2，
∴$AC=BC=\sqrt{2}$，
又BC⊥AC，BC⊥CE，∴BC⊥平面AEC，
∴${V}_{E-{B}_{1}FC}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}（\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1）×\sqrt{2}$=$\frac{1}{6}$，
∴三棱錐E-B₁FC體積為$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．