Question

14．如圖，已知在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的棱形，∠ABC=60°，側(cè)面SAD為正三角形，側(cè)面SAD⊥底面ABCD，E為線段AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：SE⊥底面ABCD；
（Ⅱ）求證：二面角A-SB-C為直二面角；
（Ⅲ）在側(cè)棱SB上是否存在一點(diǎn)M，使得BD⊥平面MAC？如果存在，求$\frac{BM}{BS}$的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出SE⊥AD，由此能證明SE⊥底面ABCD．
（Ⅱ）取OB、OC依次為x軸，y軸，取過O點(diǎn)垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明二面角A-SB-C為直二面角．
（Ⅲ）假設(shè)存在滿足題設(shè)的點(diǎn)M，設(shè)M（x，y，z），$\frac{BM}{BS}=λ$，利用向量法能求出在棱SB上存在一點(diǎn)M，使得BD⊥平面MAC，$\frac{BM}{BS}=\frac{2}{3}$．

解答 證明：（Ⅰ）∵SAD為正三角形，E為線段AD的中點(diǎn)，
∴SE⊥AD，
又側(cè)面SAD⊥底面ABCD，且側(cè)面SAD∩底面ABCD=AD，
∴SE⊥底面ABCD．
（Ⅱ）如圖，取OB、OC依次為x軸，y軸，取過O點(diǎn)垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，-1，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，1，0），S（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{BS}$=（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BA}$=（-$\sqrt{3}$，-1，0），$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}，1，0$），
設(shè)平面SBA的法量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），平面SBC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BS}=-\frac{3\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BA}=-\sqrt{3}x-y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-$\sqrt{3}，1$），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BS}=-\frac{3\sqrt{3}}{2}a-\frac{1}{2}b+\sqrt{3}c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-\sqrt{3}a+b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}，2$），
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=1-3+2=0，
∴二面角A-SB-C為直二面角．
解：（Ⅲ）假設(shè)存在滿足題設(shè)的點(diǎn)M，設(shè)M（x，y，z），$\frac{BM}{BS}=λ$，
則$\overrightarrow{BM}=λ\overrightarrow{BS}$，即（x-$\sqrt{3}$，y，z）=λ（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$），
解得M（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$λ+$\sqrt{3}$，-$\frac{1}{2}λ$，$\sqrt{3}λ$），∴$\overrightarrow{OM}$=（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$λ+$\sqrt{3}$，-$\frac{1}{2}λ$，$\sqrt{3}λ$），
向量$\overrightarrow{BD}$的方向向量為$\overrightarrow{i}$=（1，0，0），$\overrightarrow{i}•\overrightarrow{OM}$=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}λ+\sqrt{3}$=0，
解得$λ=\frac{2}{3}$，
當(dāng)$λ=\frac{2}{3}$時(shí)，OM⊥BD，又BD⊥AC，∴BD⊥平面MAC，
∴在棱SB上存在一點(diǎn)M，使得BD⊥平面MAC，$\frac{BM}{BS}=\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角為直二面角的證明，考查是否存在滿足線面垂直的點(diǎn)的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．