Question

8．對任意的正數(shù)x，都存在兩個不同的正數(shù)y，使x²（lny-lnx）-ay²=0成立，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{2e}$）
• B． （-∞，$\frac{1}{2e}$）
• C． （$\frac{1}{2e}$，+∞）
• D． （$\frac{1}{2e}$，1）

Answer 1

分析 由x²（lny-lnx）-ay²=0（x，y＞0），可得：a=$\frac{ln\frac{y}{x}}{（\frac{y}{x}）^{2}}$，令$\frac{y}{x}$=t＞0，a=$\frac{lnt}{{t}^{2}}$，設(shè)g（t）═$\frac{lnt}{{t}^{2}}$，利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：由x²（lny-lnx）-ay²=0（x，y＞0），可得：a=$\frac{ln\frac{y}{x}}{（\frac{y}{x}）^{2}}$，令$\frac{y}{x}$=t＞0，∴a=$\frac{lnt}{{t}^{2}}$，
設(shè)g（t）═$\frac{lnt}{{t}^{2}}$，g′（t）=$\frac{\frac{1}{t}×{t}^{2}-2tlnt}{{t}^{4}}$=$\frac{1-2lnt}{{t}^{3}}$．
令g′（t）＞0．解得$0＜t＜\sqrt{e}$，此時函數(shù)g（t）單調(diào)遞增；
令g′（t）＜0．解得t$＞\sqrt{e}$，此時函數(shù)g（t）單調(diào)遞減．
又t＞1時，g（t）＞0；1＞t＞0時，g（t）＜0．
可得函數(shù)g（t）的圖象．
因此當a∈$（0，\frac{1}{2e}）$時，存在兩個正數(shù)，使得a=$\frac{lnt}{{t}^{2}}$成立，
即對任意的正數(shù)x，都存在兩個不同的正數(shù)y，
使x²（lny-lnx）-ay²=0成立．
故選：A．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、數(shù)形結(jié)合方法、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．