Question

定義在實數(shù)集R上的函數(shù)y=f（x）的圖象是連續(xù)不斷的，若對任意的實數(shù)x，存在不為0的常數(shù)r使得f（x+r）=-rf（x）恒成立，則稱f（x）是一個“關(guān)于r函數(shù)”，下列“關(guān)于r函數(shù)”的結(jié)論正確的是（　�。�

• A、f（x）=0是常數(shù)函數(shù)中唯一一個“關(guān)于r函數(shù)”
• B、f（x）=x²是一個“關(guān)于r函數(shù)”
• C、f（x）=sinπx不是一個“關(guān)于r函數(shù)”
• D、“關(guān)于

  1

  2

  函數(shù)”至少有一個零點

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用新定義“λ的相關(guān)函數(shù)”，對A、B、C、D四個選項逐個判斷即可得到答案

解答： 解：對于A，設(shè)f（x）=C是一個“關(guān)于r函數(shù)”，C=-rC，即（1+r）C=0，當r=-1時，可以取遍實數(shù)集，因此f（x）=0不是唯一一個“關(guān)于r函數(shù)”，故A不正確；
對于B，用反證法，假設(shè)f（x）=x²是一個“關(guān)于r函數(shù)”，則（x+r）²+rx²=0，即（1+r）x²+2rx+r²=0對任意實數(shù)x成立，所以r+1=2r=r²=0，而此式無解，所以f（x）=x²不是一個“關(guān)于r函數(shù)”，故B不正確；
對于C，因為f（x）=sinπx，故當r=1時，f（x+1）+1•f（x）=sinπ（x+1）+sinπx=-sinπx+sinπx=0恒成立，即存在不為0的常數(shù)r=1使得f（x+1）=-f（x）恒成立，
∴f（x）=sinπx是一個“關(guān)于r函數(shù)”，故C不正確；
對于D，令x=0，得f（

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2

）+

1

2

f（0）=0，所以f（

1

2

）=-

1

2

f（0），
若f（0）=0，顯然f（x）=0有實數(shù)根；若f（0）≠0，f（

1

2

）•f（0）=-

1

2

[f（0）]²＜0．
又因為f（x）的函數(shù)圖象是連續(xù)不斷，所以f（x）在（0，

1

2

）上必有實數(shù)根．因此任意的“關(guān)于

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2

函數(shù)”必有根，即任意“關(guān)于

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2

函數(shù)”至少有一個零點，故D正確．
故選：D．

點評：本題考查函數(shù)的概念及構(gòu)成要素，考查函數(shù)的零點，正確理解“關(guān)于r函數(shù)”的概念是關(guān)鍵，屬于中檔題．