Question

成都外國語學(xué)校開設(shè)了甲，乙，丙三門選修課，學(xué)生對每門均可選或不選，且選哪門課程互不影響．已知某學(xué)生只選修甲的概率為0.08，只選修甲和乙的概率為0.12，至少選修一門的概率為0.88，用ξ表示該學(xué)生選修課程的門數(shù)，用η表示該學(xué)生選修課程門數(shù)和沒有選修課程門數(shù)的乘積．
（1）記“函數(shù)f（x）=x²+ηx為偶函數(shù)”為事件A，求事件A的概率；
（2）求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,概率的基本性質(zhì)

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：設(shè)該生選修甲，乙，丙課程的概率依次為P₁，P₂，P₃，由已知得得p₁=0.4，p₂=0.6，p₃=0.5，由題意η=0，即該生為選三門或一門都不選．由此能求出事件A的概率．
（2）由題意可設(shè)ξ可能取的值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答： 解：（1）設(shè)該生選修甲，乙，丙課程的概率依次為P₁，P₂，P₃，
則由題意知

p1(1-p2)(1-p3)=0.08 p1p2(1-p3)=0.12 1-(1-p1)(1-p2)(1-p3)=0.88

，
解得p₁=0.4，p₂=0.6，p₃=0.5，…（4分）
由題意η=0，即該生為選三門或一門都不選．
因此P（η=0）=0.4×0.6×0.5+（1-0.4）（1-0.6）（1-0.5）=0.24，
所以事件A的概率P（A）=0.24．…（6分）
（2）由題意可設(shè)ξ可能取的值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1-0.4）（1-0.6）（1-0.5）=0.12，
P（ξ=1）=0.4×（1-0.6）（1-0.5）+（1-0.4）×0.6×（1-0.5）+（1-0.4）（1-0.6）×0.5=0.38，
P（ξ=2）=0.4×0.6×（1-0.5）+0.4×（1-0.6）×0.5+（1-0.4）×0.6×0.5=0.38，
P（ξ=3）=0.4×0.6×0.5=0.12，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	0.12	0.38	0.38	0.12

ξ的分布列為：Eξ=0×0.12+1×0.38+2×0.38+3×0.12=1.5．（12分）

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查注意離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．