Question

直線y=-x+4與拋物線y²=2px（p＞0）交于兩點A、B，如果弦|AB|的長度為4

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．
（1）求P的值；
（2）求證：OA⊥OB（O為原點）．

Answer 1

分析：（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程后利用弦長公式列式求p的值；
（2）直接利用OA和OB所對應(yīng)的向量的數(shù)量積的坐標運算證明．

解答：（1）解：直線AB的方程為y=-x+4，聯(lián)立

y=-x+4 y2=2px

，得x²-2（p+4）x+16=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得x₁+x₂=2（p+4），x₁x₂=16．
由|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2(x1-x2)2

=

2

(x1+x2)2-4x1x2

∴

2

4(p+4)2-4×16

=4

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，解得p=2，滿足△=4（p+4）²-64＞0；
（2）證明：x₁+x₂=2（p+4）=12，x₁x₂=16，
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（-x₁+4）（-x₂+4）
=2x₁x₂-4（x₁+x₂）+16=2×16-4×12+16=0．
所以O(shè)A⊥OB．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了弦長公式的應(yīng)用，考查了平面向量的數(shù)量積判斷垂直關(guān)系，是中檔題．