【答案】
分析:(1)任給三角形,設(shè)它的三邊長分別為a,b,c,則a+b>c,不妨假設(shè)a≤c,b≤c,我們判斷f(a),f(b),f(c)是否滿足任意兩數(shù)之和大于第三個(gè)數(shù),即任意兩邊之和大于第三邊(2)要想一個(gè)函數(shù)不是“保三角形函數(shù)”關(guān)鍵是根據(jù)題中條件g(x)是定義在R上的周期函數(shù),且值域?yàn)椋?,+∞),舉出反例.(3)則是要利用“保三角形函數(shù)”的概念,求A的最值,觀察到Sinx的最大值為1,且Sin
=
,故可猜想
可能為分類討論的分類標(biāo)準(zhǔn),所以解答過程可通過對(duì)x與
的關(guān)系進(jìn)行分類討論,最后給出結(jié)論.
解答:解:(I)f
1(x),f
2(x)是“保三角形函數(shù)”,f
3(x)不是“保三角形函數(shù)”.
任給三角形,設(shè)它的三邊長分別為a,b,c,則a+b>c,不妨假設(shè)a≤c,b≤c,
由于
,所以f
1(x),f
2(x)是“保三角形函數(shù)”.
對(duì)于f
3(x),3,3,5可作為一個(gè)三角形的三邊長,但3
2+3
2<5
2,
所以不存在三角形以3
2,3
2,5
2為三邊長,故f
3(x)不是“保三角形函數(shù)”.
(II)設(shè)T>0為g(x)的一個(gè)周期,由于其值域?yàn)椋?,+∞),
所以,存在n>m>0,使得g(m)=1,g(n)=2,
取正整數(shù)
,可知λT+m,λT+m,n這三個(gè)數(shù)可作為一個(gè)三角形的三邊長,
但g(λT+m)=1,g(λT+m)=1,g(n)=2不能作為任何一個(gè)三角形的三邊長.
故g(x)不是“保三角形函數(shù)”.
(III)A的最大值為
①若
,
取
,顯然這三個(gè)數(shù)可作為一個(gè)三角形的三邊長,
但
不能作為任何一個(gè)三角形的三邊長,
故F(x)不是“保三角形函數(shù)”.
②當(dāng)
時(shí),對(duì)任意三角形的三邊a,b,c,若
,則分類討論如下:
(1)a+b+c≥2π,
此時(shí)
,同理,
,
∴
,故
,
.
同理可證其余兩式.
∴sina,sinb,sinc可作為某個(gè)三角形的三邊長.
(2)a+b+c<2π
此時(shí),
,可得如下兩種情況:
時(shí),由于a+b>c,所以,
.
由sinx在
上的單調(diào)性可得
;
時(shí),
,
同樣,由sinx在
上的單調(diào)性可得
;
總之,
.
又由
及余弦函數(shù)在(0,π)上單調(diào)遞減,
得
,
∴
.
同理可證其余兩式,所以sina,sinb,sinc也是某個(gè)三角形的三邊長.
故
時(shí),F(xiàn)(x)是“保三角形函數(shù)”.
綜上,A的最大值為
.
點(diǎn)評(píng):演繹推理的主要形式就是由大前提、小前提推出結(jié)論的三段論推理.三段論推理的依據(jù)用集合論的觀點(diǎn)來講就是:若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P,S是M的子集,那么S中所有元素都具有性質(zhì)P.要想判斷f(x)為“保三角形函數(shù)”,要經(jīng)過嚴(yán)密的論證說明f(x)滿足“保三角形函數(shù)”的概念,但要判斷f(x)不為“保三角形函數(shù)”,僅須要舉出一個(gè)反例即可.