Question

15．f（x）是定義在（0，+∞）上的單調函數，且對?x∈（0，+∞）都有f（f（x）-lnx）=e+1，則方程f（x）-f′（x）=e的實數解所在的區(qū)間是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{e}$）
• B． （$\frac{1}{e}$，1）
• C． （1，e）
• D． （e，4）

Answer 1

分析 利用換元法求出函數f（x）的解析式，然后根據函數與方程的關系進行轉化，構造函數，判斷函數的零點即可得到結論．

解答 解：∵f（x）是定義在（0，+∞）上單調函數，且對?x∈（0，+∞），都有f（f（x）-lnx）=e+1，
∴設f（x）-lnx=t，則f（t）=e+1，
即f（x）=lnx+t，
令x=t，則f（t）=lnt+t=e+1，
則t=e，
即f（x）=lnx+e，
函數的導數f′（x）=$\frac{1}{x}$，
則由f（x）-f′（x）=e得lnx+e-$\frac{1}{x}$=e，
即lnx-$\frac{1}{x}$=0，
設h（x）=lnx-$\frac{1}{x}$，
則h（1）=ln1-1=-1＜0，h（e）=lne-$\frac{1}{e}$=1-$\frac{1}{e}$＞0，
∴函數h（x）在（1，e）上存在一個零點，即方程f（x）-f′（x）=e的實數解所在的區(qū)間是（1，e），
故選：C．

點評 本題主要考查函數與方程的應用，根據函數單調性的性質，利用換元法求出函數的解析式是解決本題的關鍵．綜合性較強，涉及的知識點較多．