Question

15．f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，且對?x∈（0，+∞）都有f（f（x）-lnx）=e+1，則方程f（x）-f′（x）=e的實數(shù)解所在的區(qū)間是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{e}$）
• B． （$\frac{1}{e}$，1）
• C． （1，e）
• D． （e，4）

Answer 1

分析 利用換元法求出函數(shù)f（x）的解析式，然后根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的零點即可得到結(jié)論．

解答 解：∵f（x）是定義在（0，+∞）上單調(diào)函數(shù)，且對?x∈（0，+∞），都有f（f（x）-lnx）=e+1，
∴設(shè)f（x）-lnx=t，則f（t）=e+1，
即f（x）=lnx+t，
令x=t，則f（t）=lnt+t=e+1，
則t=e，
即f（x）=lnx+e，
函數(shù)的導數(shù)f′（x）=$\frac{1}{x}$，
則由f（x）-f′（x）=e得lnx+e-$\frac{1}{x}$=e，
即lnx-$\frac{1}{x}$=0，
設(shè)h（x）=lnx-$\frac{1}{x}$，
則h（1）=ln1-1=-1＜0，h（e）=lne-$\frac{1}{e}$=1-$\frac{1}{e}$＞0，
∴函數(shù)h（x）在（1，e）上存在一個零點，即方程f（x）-f′（x）=e的實數(shù)解所在的區(qū)間是（1，e），
故選：C．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應用，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，利用換元法求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，涉及的知識點較多．