Question

已知奇函數(shù)f（x）為定義在R上的可導函數(shù)，f（1）=0，當x＞0時，xf′（x）-f（x）＜0，則f（x）＞0的解集為（ ）
A．（-∞，-1）∪（1，+∞）
B．（-∞，-1）∪（0，1）
C．（-1，0）∪（0，1）
D．（-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

【答案】分析：由條件可得在（0，+∞）上，g（x）=為減函數(shù)．由g（-x）=g（x）可得函數(shù)g（x）為定義域上的偶函數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得不等式等價于 x•g（x）＞0，等價于 ，或 ，由此求得不等式的解集．
解答：解：由題意可得f（-1）=-f（1）=0，設g（x）=，則g（x）的導數(shù)為g′（x）=．
∵當x＞0時總有xf′（x）＜f（x）成立，即當x＞0時，g′（x）恒小于0，
∴當x＞0時，函數(shù)g（x）=為減函數(shù)．
又∵g（-x）===g（x），
∴函數(shù)g（x）為定義域上的偶函數(shù)．
又∵g（1）==0，
∴函數(shù)g（x）的圖象性質(zhì)類似如圖：數(shù)形結(jié)合可得
不等式f（x）＞0等價于 x•g（x）＞0等價于 ，或 ，解得 0＜x＜1，或x＜-1，
故選 B．
點評：本題主要考查了利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．