Question

【題目】【2016高考山東理數(shù)】已知.

（I）討論的單調(diào)性；

（II）當(dāng)時(shí)，證明對于任意的成立.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求的導(dǎo)函數(shù)，對a進(jìn)行分類討論，求的單調(diào)性；

（Ⅱ）要證對于任意的成立，即證，根據(jù)單調(diào)性求解.

試題解析：

（Ⅰ）的定義域?yàn)?/span>；

.

當(dāng)， 時(shí)，，單調(diào)遞增；

，單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，.

（1），，

當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

（2）時(shí)，，在內(nèi)，，單調(diào)遞增；

（3）時(shí)，，

當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.

綜上所述，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在 內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，時(shí)，

，，

令，.

則，

由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號.

又，

設(shè)，則在單調(diào)遞減，

因?yàn)?/span>，

所以在上存在使得 時(shí)，時(shí)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，

由于，因此，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號，

所以，

即對于任意的恒成立。