Question

【題目】設(shè)首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＋1－3Sn＝1.

(1) 求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列；

(2) 數(shù)列{an}是否存在一項(xiàng)ak，使得ak恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)r(r∈N*，r≥2)項(xiàng)的和？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) 見(jiàn)解析. (2) 見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：(1)由 可得 ，兩式相減化簡(jiǎn)可得數(shù)列{an}為等比數(shù)列；(2)假設(shè)數(shù)列 中存在一項(xiàng)恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)項(xiàng)的和，利用等比數(shù)列求和化簡(jiǎn)后，導(dǎo)出矛盾即可得結(jié)論.

試題解析：(1)∵ Sn＋1－3Sn＝1，∴ n≥2時(shí)Sn－3Sn－1＝1，兩式相減得an＋1－3an＝0，即an＋1＝3an(n≥2)．

又a1＝1，S2－3S1＝1，∴ a2＝3，∴ n＝1時(shí)an＋1＝3an也成立．

∴ n∈N*時(shí)＝3，數(shù)列{an}為等比數(shù)列．

(2) 解：由(1)知an＝3n－1，若數(shù)列{an}中存在一項(xiàng)ak，使得ak＝am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋r－1(m∈N*)．(2)

∵ an＝3n－1，∴ {an}為遞增數(shù)列．

∴ ak＞am＋r－1，即3k－1＞3m＋r－2，k＞m＋r－1，k≥m＋r.

又am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋r－1＝＜≤＜3k－1＝ak與ak＝am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋r－1相矛盾．

∴ 數(shù)列{an}不存在一項(xiàng)ak，使得ak恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)r(r∈N*，r≥2)項(xiàng)的和．