Question

已知函數(shù)f(x)=

x-a

x2+bx+1

是奇函數(shù)．
（1）求a、b的值；
（2）寫(xiě)出f（x）的單調(diào)區(qū)間（不需要證明）；
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行賦值求a、b的值，可由f（0）=0求出a，再有f（1）+f（-1）=0求b，
（2）由（1）知f(x)=

x

x2+1

 通過(guò)觀察函數(shù)解析式可直接寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（3）由函數(shù)的解析式的形式知，由于函數(shù)在自變量不為0時(shí)可以化為f(x)=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

，本題求值域適合用基本不等式分類(lèi)求值域．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="3v9tr5r" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">f(x)=

x-a

x2+bx+1

是奇函數(shù)，則有f(0)=

-a

1

=0，故a=0，
再由f（1）+f（-1）=0得

1

2+b

+

-1

2-b

=0，
即

1

2+b

=

1

2-b

，即2+b=2-b，可得b=0，
故有a=b=0

（2）由（1）知f(x)=

x

x2+1

 可知：f′(x)=

1-x 2

(x2+1) 2

令導(dǎo)數(shù)小于0，解得x的取值范圍是（-∞，-1）、（1，+∞）
令導(dǎo)數(shù)大于0，解得x的取值范圍是（-1，1）
故函數(shù)在（-∞，-1]、[1，+∞）上分別遞減；（-1，1）上遞增；

（3）由（1）知f(x)=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

，
當(dāng)x＞0時(shí)，x+

1

x

≥2，則f（x）∈（0，

1

2

]
當(dāng)x＜0時(shí)，x+

1

x

≤-2，則f（x）∈[

1

2

，0）
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0顯然成立
綜上知，函數(shù)的值域是：[-

1

2

，  

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，綜合考查了函數(shù)的定義域、值域、以及單調(diào)性，本題考查全面綜合性強(qiáng)，解法典型，題后應(yīng)好好總結(jié)：本題在轉(zhuǎn)化時(shí)的規(guī)律及其轉(zhuǎn)化的依據(jù)．