Question

已知等差數列{a_n}公差不為零，前n項和為S_n，且a₁、a₂、a₅成等比數列，S₅=3a₄+4．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{b_n}滿足bn=an•(

1

3

)n，求數列{b_n}前n項和為T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：計算題,等差數列與等比數列

分析：（I）根據等差數列的通項公式和題中的關系，建立首項a₁與公差d的方程組，解之得a₁=1，d=2，即可得到數列{a_n}的通項公式；
（II）確定數列{b_n}的通項，利用錯位相減法，求出數列{b_n}前n項和為T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵S₅=3a₄+4，
∴5a₁+10d=3（a₁+3d）+4…①（2分）
∵a₁、a₂、a₅成等比數列，
∴a₁（a₁+4d）=（a₁+d）²…②（4分）
聯(lián)解①、②并結合公差d≠0，得a₁=1，d=2．
∴a₁=1+2（n-1）=2n-1．…（6分）
（II）bn=an•(

1

3

)n=（2n-1）•(

1

3

)n，
∴T_n=1•

1

3

+3•(

1

3

)2+…+（2n-1）•(

1

3

)n，
∴

1

3

T_n=1•(

1

3

)2+…+（2n-3）•(

1

3

)n+（2n+1）•(

1

3

)n+1
兩式相減，整理可得T_n=

3n-n-1

3n

．

點評：本題給出等差數列滿足的關系式，求數列的通項公式并求數列{b_n}前n項和為T_n．著重考查了等差數列的通項公式、前n項和公式和錯位相減法求和方法等知識，屬于中檔題．