Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底面AB、CD的交點(diǎn)．
（1）求異面直線D₁A與C₁O所成的角；
（2）求證：面AA₁C₁C垂直于面AB₁D₁．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接BC₁，C₁D，可得ABC₁D₁是平行四邊形．由于AD₁∥BC₁，可得∠BC₁O為AC₁與B₁C所成的角．
（2）利用BD∥B₁D₁與面面垂直的判定定理即可獲證．

解答： 解：（1）連接BC₁，C₁D，
∴四邊形ABC₁D₁是平行四邊形．
∵AD₁∥BC₁，
∴∠BC₁O為AC₁與B₁C所成的角．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，
∴BC₁=C₁D=BD．
又O是BD的中點(diǎn)，
∴∠BC₁O=30°，
∴異面直線AD₁與 C₁O所成角為30°．
（2）：∵AC⊥BD，AA₁⊥BD，AC∩AA₁=A，
∴BD⊥平面AA₁C₁C，垂足為點(diǎn)O，
∵BD∥B₁D₁，
∴B₁D₁⊥平面AA₁C₁C，
∴平面AB₁D₁⊥平面AA₁C₁C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方體的性質(zhì)、平行四邊形的判定定理及其性質(zhì)定理、等邊三角形的性質(zhì)、線面判定定理、異面直線所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．