Question

(2013·杭州模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝－an－n－1＋2(n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn＝2nan．

(1)求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，證明：n∈N*且n≥3時(shí)，Tn＞．

(3)設(shè)數(shù)列{cn}滿足an(cn－3n)＝(－1)n－1λn(λ為非零常數(shù)，n∈N*)，問(wèn)是否存在整數(shù)λ，使得對(duì)任意n∈N*，都有cn＋1＞cn．

 

Answer 1

（1）an＝(n∈N*)

（2）見(jiàn)解析

（3）存在整數(shù)λ＝－1，使得對(duì)任意n∈N*有cn＋1＞cn．

【解析】(1)在Sn＝－an－n－1＋2中，令n＝1，可得S1＝－a1－1＋2＝a1，即a1＝，

當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝－an－1－n－2＋2，

所以an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1＋n－1，

所以2an＝an－1＋n－1，即2nan＝2n－1an－1＋1．

因?yàn)閎n＝2nan，所以bn＝bn－1＋1，即當(dāng)n≥2時(shí)，bn－bn－1＝1．

又b1＝2a1＝1，所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列．

于是bn＝1＋(n－1)·1＝n＝2nan，

所以an＝(n∈N*)．

(2)由(1)得cn＝an＝(n＋1)n，

所以Tn＝2×＋3×2＋4×3＋…＋(n＋1)n，①

Tn＝2×2＋3×3＋4×4＋…＋(n＋1)n＋1．②

由①－②得Tn＝1＋2＋3＋…＋n－(n＋1)n＋1

＝1＋－(n＋1)n＋1

＝－，

所以Tn＝3－，

Tn－＝3－－

＝，

于是確定Tn與的大小關(guān)系等價(jià)于比較2n與2n＋1的大小，

由2＜2×1＋1；22＜2×2＋1；23＞2×3＋1；24＞2×4＋1；25＞2×5＋1；…

可猜想當(dāng)n≥3時(shí)，2n＞2n＋1，證明如下：

方法一：①當(dāng)n＝3時(shí)，對(duì)上式驗(yàn)算顯示成立．

②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)成立，則n＝k＋1(k≥2)時(shí)，

2k＋1＝2·2k＞2(2k＋1)＝4k＋2＝2(k＋1)＋1＋(2k－1)＞2(k＋1)＋1，

所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)猜想也成立．

綜合①②可知，對(duì)一切n≥3的正整數(shù)，都有2n＞2n＋1．

方法二：當(dāng)n≥3時(shí)，

2n＝(1＋1)n＝＋＋＋…＋＋≥＋＋＋＝2n＋2＞2n＋1，

綜上所述，當(dāng)n≥3時(shí)，Tn＞．

(3)因?yàn)閏n＝3n＋＝3n＋(－1)n－1λ·2n，

所以cn＋1－cn＝[3n＋1＋(－1)nλ·2n＋1]－[3n＋(－1)n－1λ·2n]

＝2·3n－3λ(－1)n－1·2n＞0，

所以(－1)n－1·λ＜n－1．①

當(dāng)n＝2k－1(k＝1,2,3，…)時(shí)，①式即為λ＜2k－2，②

依題意，②式對(duì)k＝1,2,3，…都成立，所以λ＜1，

當(dāng)n＝2k，k＝1,2,3，…時(shí)，①式即為λ＞－2k－1，③

依題意，③式對(duì)k＝1,2,3，…都成立，

所以λ＞－，所以－＜λ＜1，又λ≠0，

所以存在整數(shù)λ＝－1，使得對(duì)任意n∈N*有cn＋1＞cn．