Question

【題目】已知向量 ， ，且 ，f（x）= ﹣2λ| |（λ為常數(shù)）， 求：
（1） 及| |；
（2）若f（x）的最小值是 ，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解： ， ，

∵ ，

∴cosx≥0，

∴

（2）解：f（x）=cos2x﹣4λcosx=2（cosx﹣λ）2﹣1﹣2λ2，

∵ ，

∴0≤cosx≤1，

①當(dāng)λ＜0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=0時(shí)，f（x）取得最小值﹣1，這與已知矛盾；

②當(dāng)0≤λ≤1，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=λ時(shí)，f（x）取得最小值﹣1﹣2λ2，

由已知得 ，解得 ；

③當(dāng)λ＞1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=1時(shí)，f（x）取得最小值1﹣4λ，

由已知得 ，解得 ，這與λ＞1相矛盾、

綜上所述， 為所求

【解析】（1）根據(jù)所給的向量的坐標(biāo)，寫出兩個(gè)向量的數(shù)量積，寫出數(shù)量積的表示式，利用三角函數(shù)變換，把數(shù)量積整理成最簡(jiǎn)形式，再求兩個(gè)向量和的模長(zhǎng)，根據(jù)角的范圍，寫出兩個(gè)向量的模長(zhǎng)．（2）根據(jù)第一問做出的結(jié)果，寫出函數(shù)的表達(dá)式，式子中帶有字母系數(shù)λ，把式子整理成關(guān)于cosx的二次函數(shù)形式，結(jié)合λ的取值范圍，寫出函數(shù)式的最小值，是它的最小值等于已知量，得到λ的值，把不合題意的舍去．
【考點(diǎn)精析】掌握三角函數(shù)的最值是解答本題的根本，需要知道函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，，．