Question

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)定義在區(qū)間(0，＋∞)上，且f(1)＝0，導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝，函數(shù)g(x)＝f(x)＋f′(x)．

(1)求函數(shù)g(x)的最小值；

(2)是否存在x0＞0，使得不等式|g(x)－g(x0)|＜對(duì)任意x＞0恒成立？若存在，請(qǐng)求出x0的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）滿足條件的x0不存在，理由見(jiàn)解析。

【解析】

（I）根據(jù)題意求出f（x）的解析式，代入g（x）=f（x）+f′（x）．求出g（x），根據(jù)g′（x）得出函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值；（2） 假設(shè)存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域，得矛盾．

(1)由題設(shè)，易知f(x)＝ln x，g(x)＝ln x＋.

∴g′(x)＝.令g′(x)＝0，得x＝1.

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)＜0，故區(qū)間(0,1)是函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)＞0，故區(qū)間(1，＋∞)是函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．

∴函數(shù)g(x)的最小值為g(1)＝1.

(2)滿足條件的x0不存在．理由如下：

假設(shè)存在x0＞0，使得不等式|g(x)－g(x0)|＜對(duì)任意x＞0恒成立．

由(1)知函數(shù)g(x)的最小值為g(1)＝1.

∴當(dāng)x≥1時(shí)，函數(shù)g(x)的值域?yàn)閇1，＋∞)，

從而可取一個(gè)x1＞1，使g(x1)≥g(x0)＋1，

即g(x1)－g(x0)≥1 故|g(x1)－g(x0)|≥1＞，與假設(shè)矛盾．

∴不存在x0＞0，使得不等式|g(x)－g(x0)|＜對(duì)任意x＞0恒成立．