Question

如圖，在等邊△ABC中，O為邊AB的中點(diǎn)，AB=4，D、E為△ABC的高線上的點(diǎn)，且|

OC

|=2

3

|

OD

|，|

OC

|=

3

|

OE

|．若以A，B為焦點(diǎn)，O為中心的橢圓過點(diǎn)D，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，記橢圓為M．
（1）求橢圓M的方程；
（2）過點(diǎn)E的直線l與橢圓M交于不同的兩點(diǎn)P，Q，點(diǎn)P在點(diǎn)E，Q之間，且

EP

=λ

EQ

，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，由已知可得D（0，1），E（0，2），則有2c=4，b=1，根據(jù)a²=b²+c²可求a，進(jìn)而可求橢圓的方程
（2）設(shè)P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂），E（0，2），則由

EP

=(x1，y1-2)，

EQ

=(x2，y2-2)．

EP

=λ

EP

可得x₁=λx₂，y₁=λy₂-2λ+2，由P，Q都在橢圓上，代入橢圓方程，
可得y₂與λ之間的關(guān)系，結(jié)合-1≤y₂≤1，及P在E，Q之間，又

EP

=λ

EQ

，可求λ的范圍

解答：
解：（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
由于|

OC

|=2

3

|

OD

|，|

OC

|=

3

|

OE

|，|

OD

|=

1

2 3

|

OC

|=1，|

OE

|=

1

3

|

OC

|=2
∴D（0，1），E（0，2）
設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)
∴2c=4⇒c=2，b=1a=

5

即橢圓方程為

x2

5

+y2=1；…（6分）
（2）設(shè)p（x₁，y₁）Q（x₂，y₂）
∵E（0，2），即

EP

=(x1，y1-2)，

EQ

=(x2，y2-2)．λ

EQ

=

EP

∴

x1=λx2 y1-2=λ(y2-2)

⇒

x1=λx2 y1=λy2-2λ+2

①…（7分）
又∵P，Q都在橢圓上
∴

x12 5 +y^2=1 x22 5 + y 2 2 =1

②…（8分）
由①②得∴

(λx2)2 5 +(λy2-2λ+2)2=1 x22 5 + y 2 2 =1

消去x₂得(λy2-2λ+2)2-λ2

y

2 2

=1-λ2⇒y2=

5λ-3

4λ

…（10分）
∵-1≤y₂≤1，
∴

1

3

≤λ≤3
又∵P在E，Q之間，又

EP

=λ

EQ

，
∴0＜λ＜1，
∴λ范圍為[

1

3

，1)．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查了由橢圓的性質(zhì)求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，求λ的取值范圍．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．