Question

10．過(guò)橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1的左焦點(diǎn)F₁作傾斜角$\frac{π}{4}$為的線直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)₂是右焦點(diǎn)，求△ABF₂的面積．

Answer 1

分析 首先根據(jù)已知條件建立方程組，通過(guò)韋達(dá)定理結(jié)合，利用弦長(zhǎng)公式，求出|AB|．通過(guò)點(diǎn)到直線的距離求解三角形的高，然后求解三角形的面積．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1的左焦點(diǎn)F₁（-1，0），傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l的斜率為：k=1
則：直線l的方程為：y=x+1，組成方程組：$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1\\ y=x+1\end{array}\right.$，消去y可得：3x²+4x=0，
設(shè)A（x₁，y₁）  B（x₂，y₂），解得x₁=0，x₂=-$\frac{4}{3}$，
AB=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
F₂（1，0）到直線AB的距離為：d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$
${S}_{{△ABF}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{2}}{3}×\sqrt{2}$=$\frac{4}{3}$．
△ABF₂的面積：$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：點(diǎn)斜式直線方程，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離及相關(guān)的運(yùn)算問(wèn)題．