Question

17．己知集合A={a²，a+1，-3}，B={a-3，a²+1，2a-1}，C={x|x²-bx+12=0}，若A∩B={-3}．
（1）求實數a的值．
（2）若B∩C=C，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據集合和元素的關系，以及交集的定義即可求出a的值，
（2）分類討論方程的解得個數，即可求出a的取值范圍．

解答 解：（1）集合A={a²，a+1，-3}，B={a-3，a²+1，2a-1}，A∩B={-3}．
當a-3=-3時，即a=0時，A={0，1，-3}，B={-3，1，-1}，此時A∩B={-3，1}，不適合題意，
當2a-1=-3時，即a=-1時，A={1，0，-3}，B={-4，2，-3}，此時A∩B={-3}，適合題意，
故a=-1，
（2）由（1）知，B={-4，2，-3}，
當△=b²-48＜0，即-4$\sqrt{3}$＜b＜4$\sqrt{3}$時，C=∅，滿足B∩C=C，
當△=b²-48=0，b=±4$\sqrt{3}$時，方程有兩個相等的實數根，此時C={2$\sqrt{3}$}或{-2$\sqrt{3}$}，不滿足B∩C=C，
當△=b²-48＞0，b＞4$\sqrt{3}$或b＜-4$\sqrt{3}$時，方程有兩個相等的實數根，
∵B∩C=C，
∴當-4和2是方程x²-bx+12=0兩根，即b=-4+2=-2，舍去，
當-4和-3是方程x²-bx+12=0兩根，即b=-4-3=-7，
當2和-3是方程x²-bx+12=0兩根，即b=2-3=-1，舍去，
綜上所述a的取值范圍為（-4$\sqrt{3}$，4$\sqrt{3}$）∪{-7}

點評 本題考查了集合元素的特征，以及交集的定義和一元二次方程的根的問題，屬于中檔題．