Question

在△ABC中，cosA=

4 17

17

，tanB=

3

5

．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC最大邊的邊長為

17

，求最小邊的邊長．

Answer 1

分析：（1）由cosA的值和角A的范圍，求出sinA的值，進(jìn)而求出tanA的值，再由tanB的值，利用C=π-（A+B），根據(jù)誘導(dǎo)公式及兩角和的正切函數(shù)公式化簡后，將tanA和tanB的值代入即可求出tanC的值，由角C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出角C的度數(shù)；
（2）根據(jù)（1）求出的角C的度數(shù)為鈍角，由大邊對(duì)大角得到AB邊最大，然后根據(jù)tanA和tanB值的大小根據(jù)正切函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)判斷得到角A最小，進(jìn)而得到BC為最短邊，由sinA，AB及sinC的值，利用正弦定理即可求出BC的長．

解答：解：（1）∵cosA=

4 17

17

，∴sinA=

17

17

，
則tanA=

1

4

，又tanB=

3

5

，
∴tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）
=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

1 4 + 3 5

1- 1 4 × 3 5

=-1，
又∵0＜C＜π，∴C=

3π

4

；
（2）∵C=

3π

4

，∴AB邊最大，即AB=

17

．又tanA＜tanB，且A，B∈（0，

π

2

），
∴角A最小，BC邊為最小邊．
∵sinA=

17

17

，AB=

17

，sinC=sin

3π

4

=

2

2

，
由

AB

sinC

=

BC

sinA

得：BC=AB•

sinA

sinC

=

2

，
所以最小邊BC=

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式及兩角和的正切函數(shù)公式，以及正弦定理．根據(jù)大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊判斷出AB邊最大，BC邊最小是解本題第二問的關(guān)鍵．