Question

6．如圖，P為圓M：（x-$\sqrt{3}$）²+y²=24上的動點，定點Q（-$\sqrt{3}$，0），線段PQ的垂直平分線交線段MP于點N．
（Ⅰ）求動點N的軌跡方程；
（Ⅱ）記動點N的軌跡為曲線C，設圓O：x²+y²=2的切線l交曲線C于A，B兩點，求|OA|•|OB|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）|NP|=|NQ|，可得|NM|+|NQ|=|MP|=2$\sqrt{6}$＞2$\sqrt{3}$=|MQ|，故點N的軌跡是以M、Q為焦點，長軸長等于2$\sqrt{6}$的橢圓，且c=$\sqrt{3}$，即得橢圓C的方程；
（Ⅱ）分類討論，當切線l垂直坐標軸時，|OA||OB|=4；當切線不垂直坐標軸時，設方程為y=kx+m（k≠0），圓心到直線的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，得m²=2+2k²．直線與橢圓方程聯立得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-6=0，得出|OA||OB|=$\sqrt{2}$|AB|，即可求|OA|•|OB|的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵|NP|=|NQ|，∴|NM|+|NQ|=|MP|=2$\sqrt{6}$＞2$\sqrt{3}$=|MQ|，
故點N的軌跡是以M、Q為焦點，長軸長等于2$\sqrt{6}$的橢圓，且c=$\sqrt{3}$，
∴b=$\sqrt{3}$
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）（1）當切線l垂直坐標軸時，|OA||OB|=4；
（2）當切線不垂直坐標軸時，設方程為y=kx+m（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由圓心到直線的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，得m²=2+2k²．
直線與橢圓方程聯立得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-6=0．
∴x₁+x₂=-$\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-6}{2{k}^{2}+1}$，
∴x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{3{m}^{2}-6-6{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$=0，
∴∠AOB=90°，
∴|OA||OB|=$\sqrt{2}$|AB|，
∵|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\frac{2\sqrt{（1+{k}^{2}）（8{k}^{2}+2）}}{2{k}^{2}+1}$．
令t=k²，則|AB|=2$\sqrt{2+\frac{2}{4t+\frac{1}{t}+4}}$≤3，
當且僅當k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，等號成立，
∴|OA||OB|≤3$\sqrt{2}$，
綜上所述，|OA|•|OB|的最大值為3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查點的軌跡方程的求法，考查韋達定理、基本不等式、直線與圓的位置關系，解題時要認真審題，注意積累解題方法，屬于中檔題．