Question

17．已知雙曲線Γ：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的上焦點F（0，c）（c＞0），M是雙曲線下支上的一點，線段MF與圓x²+y²-$\frac{2c}{3}$y+$\frac{{a}^{2}}{9}$=0相切于點D，且|MF|=3|DF|，則雙曲線Γ的漸近線方程為（　�。�

• A． 4x±y=0
• B． x±4y=0
• C． 2x±y=0
• D． x±2y=0

Answer 1

分析 由圓的方程求出圓心坐標(biāo)，設(shè)出D的坐標(biāo)，由題意列式求出D的坐標(biāo)，結(jié)|MF|=3|DF|，求得M的坐標(biāo)，再把M的坐標(biāo)代入雙曲線方程求得答案．

解答 解：由x²+y²-$\frac{2c}{3}$y+$\frac{{a}^{2}}{9}$=0，得x²+（y-$\frac{c}{3}$）²=$\frac{^{2}}{9}$，
則該圓的圓心坐標(biāo)為（0，$\frac{c}{3}$），半徑為$\frac{3}$．
設(shè)切點D（x₀，y₀）（y₀＞0），
則由x²+y²-$\frac{2c}{3}$y+$\frac{{a}^{2}}{9}$=0與（x₀，y₀-c）•（x₀，y₀-$\frac{c}{3}$）=0，
解得：x₀=$\frac{b\sqrt{3{c}^{2}+{a}^{2}}}{6c}$，y₀=$\frac{3{c}^{2}-{a}^{2}}{6c}$．
∴D（$\frac{b\sqrt{3{c}^{2}+{a}^{2}}}{6c}$，$\frac{3{c}^{2}-{a}^{2}}{6c}$），
由|MF|=3|DF|，得$\overrightarrow{MF}$=3$\overrightarrow{DF}$，得M（$\frac{b\sqrt{3{c}^{2}+{a}^{2}}}{2c}$，-$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2c}$ ），
代入 雙曲線Γ：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）整理得b=2a，∴雙曲線Г的漸近線方程為y=±$\frac{1}{2}$x．
故選：D．

點評 本題考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查了圓與圓錐曲線間的關(guān)系，考查了學(xué)生的計算能力，是中檔題．