Question

已知：函數(shù)（a，b，c是常數(shù)）是奇函數(shù)，且滿足
（1）求a，b，c的值；
（2）試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，）上的單調(diào)性并說明理由；
（3）試求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的最小值．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)是奇函數(shù)，滿足f（-x）=-f（x），∴c=0
∵，∴，解之得a=2，b=
（2）由（1）可得f（x）=2x+
∴f（x）=2x+在區(qū)間（0，0.5）上是單調(diào)遞減的
證明：設(shè)任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)0＜x₁＜x₂＜
∵f（x₁）-f（x₂）=2（x₁-x₂）+-=2（x₁-x₂）+
=
又∵0＜x₁＜x₂＜
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜，1-4x₁x₂＞0，可得f（x₁）-f（x₂）＞0
即對(duì)任意0＜x₁＜x₂＜，均有f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）=2x+在區(qū)間（0，）上是減函數(shù)．
（3）由（2）得f（x）=2x+在區(qū)間（0，0.5）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
類似地可證出對(duì)任意x₁＞x₂＞，均有f（x₁）＞f（x₂），
可得f（x）=2x+在區(qū)間（，+∞）上是增函數(shù)．
因此，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的最小值為f（）=2．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，得到c=0，再由題中的2個(gè)等式建立關(guān)于a、b的方程組，解之即可得到a、b的值；
（2）區(qū)間（0，）上任取兩個(gè)自變量x₁、x₂，將對(duì)應(yīng)的函數(shù)值作差、變形到因式積的形式，判斷符號(hào)，根據(jù)據(jù)單調(diào)性的定義可得f（x）=2x+在區(qū)間（0，）上是減函數(shù)．
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，判斷函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）在區(qū)間（0，）上是減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，因此可得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的最小值為f（）=2．
點(diǎn)評(píng)：本題給出含有字母參數(shù)的基本初等函數(shù)，在已知函數(shù)的奇偶性情況下求參數(shù)的值，并討論函數(shù)的單調(diào)性．著重考查了函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)和函數(shù)最值求法等知識(shí)，屬于中檔題．