Question

14．已知函數(shù)f（x）=-2sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+1
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及對稱中心
（Ⅱ）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，即可求周期和對稱中心．
（2）x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的取值最大和最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=-2sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+1，
化簡可得：f（x）=cos2x-1+$\sqrt{3}$sin2x+1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ（k∈Z）可得對稱中心的橫坐標(biāo)為x=$\frac{1}{2}$kπ$-\frac{π}{12}$
∴對稱中心（$\frac{1}{2}$kπ$-\frac{π}{12}$，0），（k∈Z）．
（2）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時，2x+$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{6}$時，函數(shù)f（x）取得最小值為$-\frac{1}{2}×2=-1$．
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為2×1=2．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．