Question

3．已知關(guān)于x的函數(shù)g（x）=$\frac{2}{x}$-alnx（a∈R），f（x）=x²g（x）．
（1）當(dāng)a=-2時，求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在區(qū)間（$\frac{1}{e}$，e）內(nèi)有且只有一個極值點(diǎn)，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理得到f′（$\frac{1}{e}$）•f′（e）＜0，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）a=-2時，g（x）=$\frac{2}{x}$+2lnx，g′（x）=$\frac{2x-2}{{x}^{2}}$，（x＞0），
令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故g（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（2）f（x）=x²g（x）=2x-ax²lnx，定義域是（0，+∞），
f′（x）=2-a（x+2xlnx），
若a=0，則f′（x）=2≠0，不存在極值點(diǎn)，故a≠0，
令h（x）=f′（x）=2-a（x+2xlnx），h′（x）=-a（3+2lnx），
x∈（$\frac{1}{e}$，e）時，3+2lnx＞0，
故h′（x）＞0恒成立或h′（x）＜0恒成立，
∴f′（x）在（$\frac{1}{e}$，e）是單調(diào)函數(shù)，
∵f（x）在區(qū)間（$\frac{1}{e}$，e）內(nèi)有且只有1個極值點(diǎn)，
∴f′（x）在（$\frac{1}{e}$，e）有唯一解，
由零點(diǎn)存在定理，得：f′（$\frac{1}{e}$）•f′（e）＜0，
得（2+$\frac{1}{e}$a）（2-3ea）＜0，解得：a＜-2e或a＞$\frac{2}{3e}$，
綜上，a＜-2e或a＞$\frac{2}{3e}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，考查零點(diǎn)的存在定理，是一道綜合題．