Question

設S_n是正項數列{a_n}的前n項和，且a_n和S_n滿足：4Sn=(an+1)2 (n=1，2，3，…)，則S_n=

n²

．

Answer 1

分析：利用數列遞推式，再寫一式，兩式相減，求出數列的通項，即可得到結論．

解答：解：∵4S_n=（a_n+1）²，
∴n≥2時，4S_n-1=（a_n-1+1）²，
作差，得4（S_n-S_n-1）=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，
∴4a_n=（a_n+a_n-1+2）（a_n-a_n-1），
整理，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0．
∵{a_n}正數數列，∴a_n-a_n-1=2，
∵4S₁=（a₁+1）²，∴a₁=1，
∴a_n=2n-1
∴4S_n=（2n-1+1）²，
∴S_n=n²，
故答案為：n²．

點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項與求和，考查學生的計算能力，屬于基礎題．