Question

6．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-ax，x=0是極值點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）設(shè)g（x）=$\frac{f（x-1）+x-1}{x}$，試比較g（4）+g（9）+…+g（n²）與$\frac{{2{n^2}-n-1}}{2（n+1）}$（n∈Z，n≥2）的大�。�

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（0），求出a的值即可；（2）求出g（x）的表達(dá)式，根據(jù)放縮法比較大小即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{1}{x+1}-a$…（2分）
由題意因?yàn)閒'（0）=1-a=0…（（3分）
所以a=1…（4分）
（2）$g（x）=\frac{lnx}{x}$．…（5分）
先證當(dāng)x＞1時(shí)，lnx＜x-1
令h（x）=lnx-x+1${h^，}（x）=\frac{1}{x}-1＜0$．…（6分）
所以h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減
所以h（x）＜h（1）=0
所以當(dāng)x＞1時(shí)$g（x）＜\frac{x-1}{x}=1-\frac{1}{x}$．…（8分）
∴$g（4）+g（9）+…+g（{n^2}）＜1-\frac{1}{2^2}+1-\frac{1}{3^2}+1-\frac{1}{4^2}+…+1-\frac{1}{n^2}$
$＜1-\frac{1}{2×3}+1-\frac{1}{3×4}+1-\frac{1}{4×5}+…+1-\frac{1}{n×（n+1）}$
=$n-1-（\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}）=\frac{{2{n^2}-n-1}}{2（n+1）}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的大小比較，是一道中檔題．