Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x（x³-3x+3）-ae^x-x，若不等式f（x）≤0有解，則實數(shù)a的最小值為（　�。�

• A． $\frac{2}{e}$-1
• B． 2-$\frac{2}{e}$
• C． 1+2e²
• D． 1-$\frac{1}{e}$

Answer 1

分析 化簡可得a≥x³-3x+3-$\frac{x}{{e}^{x}}$，令g（x）=x³-3x+3-$\frac{x}{{e}^{x}}$，從而求導(dǎo)g′（x）=3x²-3+$\frac{x-1}{{e}^{x}}$=（x-1）（3x+3+$\frac{1}{{e}^{x}}$），從而確定g_min（x）=g（1）；從而解得．

解答 解：∵f（x）=e^x（x³-3x+3）-ae^x-x≤0，
∴a≥x³-3x+3--$\frac{x}{{e}^{x}}$，
令g（x）=x³-3x+3-$\frac{x}{{e}^{x}}$，
g′（x）=3x²-3+$\frac{x-1}{{e}^{x}}$=（x-1）（3x+3+$\frac{1}{{e}^{x}}$），
故當x∈（-∞，1）時，g′（x）＜0，
當x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，
故g（x）在（-∞，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；
故g_min（x）=g（1）=1-3+3-$\frac{1}{e}$=1-$\frac{1}{e}$；
故選：D．

點評 本題考查了不等式的化簡與應(yīng)用，同時考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及存在性問題的應(yīng)用．