Question

若函數(shù)f（x）=2x²-lnx在其定義域的一個(gè)子區(qū)間（k-1，k+1）內(nèi)存在最小值，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A、[1，+∞）
• B、[1，

  3

  2

  ）
• C、[1，2）
• D、[

  3

  2

  ，2）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），由f'（x）=0，得x=

1

2

，由題意可得，

k-1＜ 1 2 ＜k+1 f′(k-1)＜0 f′(k+1)＞0 k-1≥0

，由此求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：∵f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），又f′(x)=4x-

1

x

，由f'（x）=0，得x=

1

2

．
根據(jù)函數(shù)在區(qū)間（k-1，k+1）內(nèi)存在最小值，
可得函數(shù)在區(qū)間（k-1，

1

2

）內(nèi)是減函數(shù)，在區(qū)間（

1

2

，k+1）內(nèi)是增函數(shù)，
即函數(shù)f′（x）在區(qū)間（k-1，

1

2

）內(nèi)小于零，在區(qū)間（

1

2

，k+1）內(nèi)大于零．
故有

k-1＜ 1 2 ＜k+1 f′(k-1)＜0 f′(k+1)＞0 k-1≥0

，解得1≤k＜

3

2

，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，函數(shù)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)存在極值的條件，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．