Question

14．已知底面為矩形的四棱錐D-ABCE，AB=1，BC=2，AD=3，DE=$\sqrt{5}$，且二面角D-AE-C的正切值為-2．
（1）求證：平面ADE⊥平面CDE；
（2）求點D到平面ABCE的距離；
（3）求二面角A一BD-C的大�。�

Answer 1

分析 （1）推導出AE⊥CE，AE⊥ED，從而AE⊥平面CD，由此能證明平面ADE⊥平面CDE．
（2）推導出DF⊥平面ABCE，AE⊥平面CDE，則∠DEC為二面角D-AE-C的平面角，由此能求出點D到平面ABCE的距離．
（3）以E點為原點，直線EA為x軸，直線EC為y軸，過點E與DF平行的直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-BD-C的大小．

解答 證明：（1）∵ABCE為矩形，∴AE⊥CE，…（1分）
又∵AE²+DE²=AD²，∴AE⊥ED…（2分）
而CE∩DE=E，∴AE⊥平面CD…（3分）
而AE⊆平面ADE，
∴平面ADE⊥平面CDE．…（4分）
解：（2）由（1）平面ABCEE⊥平面CDE且交線為CE，過點D作DF⊥CE于點F，
則DF⊥平面ABCE，…（5分）
由（1）AE⊥平面CDE，∴∠DEC為二面角D-AE-C的平面角，
∵二面角D-AE-C的正切值為-2，∴tan∠DEC=-2，∴tan∠DEF=2．…（6分）
設EF=x，DF=2x，x²+（2x）²=5，x=1，DF=2，
∴點D到平面ABCE的距離為2．…（8分）
（3）以E點為原點，直線EA為x軸，直線EC為y軸，過點E與DF平行的直線為z軸，建立空間直角坐標系，
E（0，0，0），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，1，0），D（0，-1，2），
$\overrightarrow{AB}=（{0，1，0}），\overrightarrow{BD}=（{-2，-2，2}），\overrightarrow{CB}=（{2，0，0}）$…（9分）
設平面ABD的一個法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AB}=y=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BD}=-2x-2y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=-1，得$\overrightarrow{n_1}=（{-1，0．-1}）$，
設平面CBD的一個法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x，y，z），
同理求得$\overrightarrow{n_2}=（{0，1，1}）$，
設二面角A-BD-C的大小為θ，則$cosθ=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_2}}|}}=-\frac{1}{2}，θ=120°$，
故二面角A-BD-C的大小為120°．…（12分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．