【題目】如圖，在多面體中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形， ，四邊形是矩形，平面平面， ， 是的中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）求二面角的大小.

【答案】（1）見(jiàn)解析;（2）;（3）.

【解析】試題分析：（1）由平面 平面，及 ，得 平面（平面與平面垂直的性質(zhì)）；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量的坐標(biāo)及 ，可得 與平面所成角的夾角的正弦值；（3）由（2）的空間直角坐標(biāo)，可求得 的法向量 ，平面 的法向量，得 ，由二面角為銳角，得所求二面角的值。

（1）證明：因?yàn)樗倪呅?/span>是菱形，所以.

因?yàn)槠矫?/span>平面，且四邊形是矩形，所以平面，

又因?yàn)?/span>平面，所以.

因?yàn)?/span>，所以平面.

（2）設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，

因?yàn)樗倪呅?/span>是矩形， 分別為， 的中點(diǎn)，所以，

又因?yàn)?/span>平面，所以平面，

由，得兩兩垂直,所以以為原點(diǎn)， 所在直線分別為軸， 軸， 軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)榈酌?/span>是邊長(zhǎng)為的菱形， ， ，

所以.

因?yàn)?/span>平面，所以平面的法向量.

設(shè)直線與平面所成角為，由，得

，

所以直線與平面所成角的正弦值為.

（3）由（2）得， ， ，

設(shè)平面的法向量為，

所以即

令，得，由平面，得平面的法向量為，

則，

由圖可知二面角為銳角，

所以二面角的大小為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，已知AB丄平面BCD，M、N分別是AC、AD的中點(diǎn)，BC 丄 CD.

（1）求證：MN//平面BCD；

（2）若AB=1，BC=，求直線AC與平面BCD所成的角.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某校從參加高一年級(jí)期中考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績(jī)（均為整數(shù)）分成六段[40，50），[50，60）…，[80，90），[90，100]，然后畫(huà)出如圖所示部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問(wèn)題：

（1）求第四小組的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；
（2）估計(jì)這次考試的及格率（60分及60分以上為及格）和平均分；
（3）把從[80，90）分?jǐn)?shù)段選取的最高分的兩人組成B組，[90，100]分?jǐn)?shù)段的學(xué)生組成C組，現(xiàn)從B，C兩組中選兩人參加科普知識(shí)競(jìng)賽，求這兩個(gè)學(xué)生都來(lái)自C組的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】余江人熱情好客，凡逢喜事，一定要擺上酒宴，請(qǐng)親朋好友、同事高鄰來(lái)助興慶賀.歡度佳節(jié)，迎親嫁女，喬遷新居，學(xué)業(yè)有成，仕途風(fēng)順，添丁加口，朋友相聚，都要以酒示意，借酒表達(dá)內(nèi)心的歡喜.而凡有酒宴，一定要?jiǎng)澣�，劃拳是余江酒文化的特�?余江人劃拳注重禮節(jié)，形式多樣；講究規(guī)矩，蘊(yùn)含著濃厚的傳統(tǒng)文化和淳樸的民俗特色.在禮節(jié)上，講究“尊老尚賢敬遠(yuǎn)客”一般是東道主自己或委托桌上一位酒量好的劃拳高手來(lái)“做關(guān)”，——就是依次陪桌上會(huì)劃拳的劃一年數(shù)十二拳（也有半年數(shù)六拳）.十二拳之后晚輩還要敬長(zhǎng)輩一杯酒.

再一次家族宴上，小明先陪他的叔叔猜拳12下，最后他還要敬他叔叔一杯，規(guī)則如下：前兩拳只有小明猜叔贏叔叔，叔叔才會(huì)喝下這杯敬酒，且小明也要陪喝，如果第一拳小明沒(méi)猜到，則小明喝下第一杯酒，繼續(xù)猜第二拳，沒(méi)猜到繼續(xù)喝第二杯，但第三拳不管誰(shuí)贏雙方同飲自己杯中酒，假設(shè)小明每拳贏叔叔的概率為，問(wèn)在敬酒這環(huán)節(jié)小明喝酒三杯的概率是多少（ ）

（猜拳只是一種娛樂(lè)，喝酒千萬(wàn)不要過(guò)量�。�

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知空間四邊形， 分別在上，

(1) 若，異面直線與所成的角的大小為，求和所成的角的大�。�

(2)當(dāng)四邊形是平面四邊形時(shí)，試判斷與三條直線的位置關(guān)系，并選擇其中一種位置關(guān)系說(shuō)明理由；

(3)已知當(dāng)，異面直線所成角為，當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，試判斷點(diǎn)在什么位置時(shí)，四邊形的面積最大，試求出最大面積并說(shuō)明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出 (百萬(wàn)元)與銷(xiāo)售額 (百萬(wàn)元)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù):

2

4

5

6

8

30

40

50

60

70

如果與之間具有線性相關(guān)關(guān)系.

（1）作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；

（2）求這些數(shù)據(jù)的線性回歸方程;

（3）預(yù)測(cè)當(dāng)廣告費(fèi)支出為9百萬(wàn)元時(shí)的銷(xiāo)售額。 ( 參考數(shù)據(jù)： )

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為，曲線的參數(shù)方程為 (為參數(shù))

(1)求點(diǎn)的直角坐標(biāo)；化曲線的參數(shù)方程為普通方程；

(2)設(shè)為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，以為對(duì)角線的矩形的一邊垂直于極軸，求矩形周長(zhǎng)的最小值，及此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，多面體中, 兩兩垂直，平面平面，平面平面， .

（1）證明四邊形是正方形；

（2）判斷點(diǎn)是否四點(diǎn)共面，并說(shuō)明為什么？

（3）連結(jié)，求證： 平面．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=3n﹣1．
（1）求a1 ， a2 ， a3的值；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn ．

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