Question

【題目】已知，設函數(shù)，．

（1）試討論的單調(diào)性；

（2）設函數(shù)，是否存在實數(shù)，使得存在兩個極值點，，且滿足？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．

注：.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，見解析；（2）存在，

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域以及，討論的取值范圍，即，，或，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系即可求解.

（2）解法一：求出，根據(jù)題意可得有兩解兩解，從而可得，從而求得，由，令，可得，利用導數(shù)求出的單調(diào)性，且根據(jù)即可求解；解法二：根據(jù)函數(shù)有兩個極值點可得，然后將不等式化為，由方程，得，令，，則，將不等式化為關于的不等式，利用導數(shù)即可證出.

解：（1）的定義域為

==，

（i）若,則，所以在遞增，遞減，

（ii）若，則在遞增，遞減，在遞增，

（iii）若,則在遞增；

（iv）若，則在遞增，在遞減，在遞增.

（2）解法一： ,

， 若有兩極值點，

則有兩解兩解，

.

且

所以.

令，則

若則，

，

令

，

，

所以在遞增，在遞減

又，

則在區(qū)間內(nèi)存在使得.

函數(shù)y=m(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

由，所以當時滿足

，所以

即實數(shù)的取值范圍為

解法二： ,

， 若有兩極值點，

則有兩解，

且，所以

即

由方程，得，

令，，則，

令，求導可得

.

令，得到，

所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

又，，所以由，

即，解得. 故實數(shù)的取值范圍是.