Question

【題目】設(shè)函數(shù)（為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）。

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在內(nèi)存在唯一極值點，求的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）

【解析】

（1）根據(jù)解析式可求得函數(shù)定義域為，求導(dǎo)后，根據(jù)可知；從而根據(jù)的符號可確定導(dǎo)函數(shù)的符號，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）知時不滿足題意；當(dāng)時，將問題轉(zhuǎn)化為與在范圍內(nèi)有唯一交點；設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可得到的單調(diào)性，從而得到在內(nèi)的圖象，進而得到的取值范圍.

（1）由題意得：函數(shù)的定義域為

則

當(dāng)時，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增

的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為

（2）由（1）知，當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞減

在內(nèi)不存在極值點

當(dāng)時，要使得在內(nèi)存在唯一極值點，則在存在唯一變號零點

即方程在內(nèi)存在唯一解，即與在范圍內(nèi)有唯一交點

設(shè)函數(shù)，則

在單調(diào)遞減

又；當(dāng)時，

時，與在范圍內(nèi)有唯一交點

綜上所述：的取值范圍為：