Question

3．已知矩陣M=$[\begin{array}{l}{1}&\\{c}&{2}\end{array}]$有特征值λ₁=4及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$=$[\begin{array}{l}{2}\\{3}\end{array}]$．求矩陣M及另一個(gè)特征值λ₂和特征向量$\overrightarrow{{e}_{2}}$．

Answer 1

分析 先求出b=2，c=3，從而求出M=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{3}&{2}\end{array}]$，由此利用矩陣M的特征多項(xiàng)式能求出矩陣M及另一個(gè)特征值λ₂和特征向量$\overrightarrow{{e}_{2}}$．

解答 解：∵矩陣M=$[\begin{array}{l}{1}&\\{c}&{2}\end{array}]$有特征值λ₁=4及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$=$[\begin{array}{l}{2}\\{3}\end{array}]$，
∴$[\begin{array}{l}{1}&\\{c}&{2}\end{array}][\begin{array}{l}{2}\\{3}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{8}\\{12}\end{array}]$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2+3b=8}\\{2c+6=12}\end{array}\right.$，
解得b=2，c=3，
∴M=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{3}&{2}\end{array}]$．
矩陣M的特征多項(xiàng)式為f（λ）=（λ-1）（λ-2）-6=（λ+1）（λ-4）=0，
解得λ₁=4，λ₂=-1，
當(dāng)λ₂=-1時(shí)，設(shè)$\overrightarrow{{e}_{2}}=[\begin{array}{l}{{a}_{1}}\\{{a}_{2}}\end{array}]$，則$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{3}&{2}\end{array}][\begin{array}{l}{{a}_{1}}\\{{a}_{2}}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{-{a}_{1}}\\{-{a}_{2}}\end{array}]$，
解得a₂=-a₁，
令a₁=1，得$\overrightarrow{{e}_{2}}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$．（答案不唯一）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩陣及特征值和特征向量的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意矩陣運(yùn)算性質(zhì)的合理運(yùn)用．