Question

15．如圖，D是△ABC外接圓上的一點，弦AD與BC交于點E，且AB=AC=6，AE=4．
（Ⅰ）求線段DE的長；
（Ⅱ）若∠BAC=120°，求△BCD內(nèi)切圓的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BD構(gòu)造相似三角形△ABE∽△ADB，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得AB²=AD•AE，從而求得AB的長度．
（Ⅱ）利用三角形相似求出三角形的三個邊長，通過三角形的面積求出內(nèi)切圓的半徑，然后求解內(nèi)切圓的面積．

解答 解：（Ⅰ）如圖，AB=AC=6，
則$\widehat{AB}=\widehat{AC}$，
∴∠ABE=∠D（等弧所對的圓周角相等），
又∠BAE=∠BAD（公共角），
∴△ABE∽△ADB（AA），
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}$（相似三角形的對應(yīng)邊成比例），
∴AB²=AD•AE=（AE+ED）•AE，又AE=4，AB=6，得ED=5．
（Ⅱ）∠BAC=120°，BC=6$\sqrt{3}$，BE=3$\sqrt{3}+$$\sqrt{7}$，EC=3$\sqrt{3}-\sqrt{7}$，CD=$\frac{ED•AB}{BE}$=$\frac{5×6}{3\sqrt{3}+\sqrt{7}}$=$\frac{9\sqrt{3}-3\sqrt{7}}{2}$，
△DBE∽△AEC，∴$\frac{BE}{BD}=\frac{AE}{AC}$，可得BD=$\frac{AC•BE}{AE}$=$\frac{9\sqrt{3}+3\sqrt{7}}{2}$．D到BC的距離為h，則$\frac{AE}{AF}=\frac{DE}{h}$，h=$\frac{15}{4}$，$\frac{1}{2}BC•h=\frac{1}{2}（BC+BD+DC）•r$，（r是△BCD內(nèi)切圓的半徑），
$\frac{1}{2}$×$6\sqrt{3}×\frac{15}{4}$=$\frac{1}{2}$×（$6\sqrt{3}+\frac{9\sqrt{3}+3\sqrt{7}}{2}+\frac{9\sqrt{3}-3\sqrt{7}}{2}$）•r，解得r=$\frac{3}{2}$，
△BCD內(nèi)切圓的面積：$（\frac{3}{2}）^{2}π$=$\frac{9π}{4}$．

點評 本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理．圓心角與它所對的弧、所對的弦之間的關(guān)系：這三個量中，若有一個量相等，則其它的量兩個量也相等．考查內(nèi)切圓的面積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．