Question

20．設(shè)P是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1右支上一點，F(xiàn)₁、F₂是左、右焦點，若tan∠PF₁F₂=$\frac{1}{2}$，sin∠PF₂F₁=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，則此雙曲線的離心率為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 運用同角的基本關(guān)系式，判斷PF₂⊥PF₁，由直角三角形中的邊角關(guān)系及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出PF₂ 和PF₁ 的值，再利用雙曲線的定義求得e=$\frac{c}{a}$的值．

解答 解：△PF₂F₁中，tan∠PF₁F₂=$\frac{1}{2}$，
可得cos∠PF₁F₂=$\frac{1}{\sqrt{1+ta{n}^{2}∠P{F}_{1}{F}_{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}$
=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=sin∠PF₂F₁，
即有∠PF₂F₁ 與∠PF₁F₂互為余角，
即PF₂⊥PF₁，
由$\frac{|P{F}_{2}|}{2c}$=sin∠PF₁F₂=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，可得|PF₂|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$c；
由tan∠PF₁F₂ =$\frac{|P{F}_{2}|}{|P{F}_{1}|}$=$\frac{1}{2}$，
可得|PF₁|=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$c，
再由雙曲線的定義得，|PF₁|-|PF₂|=2a，
即$\frac{4\sqrt{5}}{5}$c-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$c=2a，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，其中，判斷PF₂⊥PF₁是解題的關(guān)鍵．