Question

7．已知函數(shù)f（x）=|x+1|-a|x-l|．
（Ⅰ）當(dāng)a=-2時(shí)，解不等式f（x）＞5；
（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將a=2代入f（x），表示出f（x）的分段形式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出不等式的解集即可；（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為$\frac{|x+1|}{|x-1|+|x+3|}$≤$\frac{1}{2}$，求出a的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-3x，x＜-1}\\{3-x，-1≤x≤1}\\{3x-1，x＞1}\end{array}\right.$，
由f（x）的單調(diào)性及f（-$\frac{4}{3}$）=f（2）=5，
得f（x）＞5的解集為{x|x＜-$\frac{4}{3}$，或x＞2}．…（5分）
（Ⅱ）由f（x）≤a|x+3|得a≥$\frac{|x+1|}{|x-1|+|x+3|}$，
由|x-1|+|x+3|≥2|x+1|得$\frac{|x+1|}{|x-1|+|x+3|}$≤$\frac{1}{2}$，得a≥$\frac{1}{2}$．
（當(dāng)且僅當(dāng)x≥1或x≤-3時(shí)等號(hào)成立）
故a的最小值為$\frac{1}{2}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，考查分段函數(shù)，是一道中檔題．