Question

極坐標系的極點為直角坐標系xOy的原點，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標系中的長度單位相同，已知曲線C的極坐標方程為ρ=2（cosθ+sinθ），斜率為

3

的直線l交y軸于點E（0，1）．
（I）求C的直角坐標方程，l的參數方程；
（Ⅱ）直線l與曲線C交于A、B兩點，求|EA|+|EB|．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：直線與圓

分析：（I）由ρ=2（cosθ+sinθ），得ρ²=2（ρcosθ+ρsinθ），把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入即可得出；由斜率為

3

的直線l交y軸于點E（0，1）即可得出直線的參數方程．
（II）將

x= 1 2 t y=1+ 3 2 t

代入（x-1）²+（y-1）²=2得t²-t-1=0，利用根與系數的關系、直線參數的意義即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由ρ=2（cosθ+sinθ），得ρ²=2（ρcosθ+ρsinθ），
即x²+y²=2x+2y，即（x-1）²+（y-1）²=2．
l的參數方程為

x= 1 2 t y=1+ 3 2 t

（t為參數，t∈R），
（Ⅱ）將

x= 1 2 t y=1+ 3 2 t

代入（x-1）²+（y-1）²=2得t²-t-1=0，
解得，t₁=

1+ 5

2

，t₂=

1- 5

2

．
則|EA|+|EB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=

5

．

點評：本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數方程化為普通方程、直線方程的應用，考查了計算能力，屬于基礎題．