Question

14．已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+|x-1|．
（1）當(dāng)a=3時，求不等式f（x）≥2的解集；
（2）若f（x）≥5-x對?x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，求出不等式的解集即可；（2）令g（x）=5-x-|x-1|，求出g（x）的最大值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）a=3時，即求解|2x-3|+|x-1|≥2，
①當(dāng)x≥$\frac{3}{2}$時，不等式即2x-3+x-1≥2，解得x≥2，
②當(dāng)1＜x＜$\frac{3}{2}$時，不等式即3-2x+x-1≥2，解得x＜0．
③當(dāng)x≤1時，3-2x+1-x≥2，解得2x≤2，即x≤$\frac{2}{3}$．
∴綜上，原不等式解集為{x|x≤$\frac{2}{3}$或x≥2}．
（2）即|2x-a|≥5-x-|x-1|恒成立
令g（x）=5-x-|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{6-2x，x≥1}\\{4，x＜1}\end{array}\right.$，
則由函數(shù)g（x）的圖象可得它的最大值為4，
故函數(shù)y=|2x-a|的圖象應(yīng)該恒在函數(shù)g（x）的圖象的上方，
數(shù)形結(jié)合可得$\frac{a}{2}$≥3，
∴a≥6，即a的范圍是[6，+∞）．

點評 本題考查了絕對值不等式問題，考查函數(shù)的最值問題，是一道中檔題．