Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD為菱形，O是底面ABCD的對角線的交點(diǎn)，A₁A=A₁C，A₁A⊥BC．
（1）證明：平面A₁BC∥平面CD₁B₁；
（2）證明：A₁O⊥平面ABC．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,平面與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）運(yùn)用幾何性質(zhì)判斷A₁B∥B₁C，A₁D∥B₁C．再運(yùn)用定理判斷．（2）運(yùn)用性質(zhì)判斷出DB⊥平面A₁AO，BD⊥A₁O，A₁O⊥AC，再運(yùn)用判定定理證明．

解答： 證明：（1）易知AA₁∥DD₁，


∵底面ABCD為菱形，∴AB∥CD，
又∵AA₁∩AB=A，CD∩DD₁=D，
∴平面AA₁BB₁∥平面DC₁CD₁，
又A₁B?平面AA₁BB₁，CD₁?平面DC₁CD₁，
平面A₁BCD₁∩平面AA₁BB₁=A₁B，
平面ABCBD₁∩平面DC₁CD₁=D₁C，
∴A₁B∥B₁C，
同理可證：A₁D∥B₁C．
又∵A₁D∩A₁B=A₁，D₁C∩B₁C=C，
∴平面A₁BC∥平面CD₁B₁；
（2）∵底面ABCD為菱形，∴AC⊥BD，
又∵AA₁⊥BD，AA₁∩AC=A，∴DB⊥平面A₁AO，
∵A₁O?平面A₁AO，∴BD⊥A₁O，
由∵A₁A=A₁C，∴A₁O⊥AC，
∵AC∩BD=O，
∴A₁O⊥平面ABC．

點(diǎn)評：本題考查了空間幾何題 的性質(zhì)，運(yùn)用判斷直線，平面的平行、垂直關(guān)系．屬于中檔題．