Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N^*），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 通過S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹與S_n-1=2a_n-1-2ⁿ作差整理可知a_n=2a_n-1+2ⁿ，兩邊同時(shí)除以2ⁿ、整理得數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是首項(xiàng)為2、公差為1的等差數(shù)列，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：∵S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N^*），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n∈N^*），
兩式相減得：a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n=2a_n-1+2ⁿ，
兩邊同時(shí)除以2ⁿ，得：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+1，
又∵a₁=2a₁-4，即$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$=$\frac{4}{2}$=2，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是首項(xiàng)為2、公差為1的等差數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=2+n-1=n+1，a_n=（n+1）•2ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，構(gòu)造等差數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．