Question

15．已知a，b∈（0，+∞），則下列不等式中不成立的是（　�。�

• A． a+b+$\frac{1}{\sqrt{ab}}$≥2$\sqrt{2}$
• B． （a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）≥4
• C． $\frac{{a}^{2}+^{2}}{\sqrt{ab}}$≥2$\sqrt{ab}$
• D． $\frac{2ab}{a+b}$＞$\sqrt{ab}$

Answer 1

分析 根據(jù)基本不等式$a+b≥2\sqrt{ab}$（當(dāng)a=b時(shí)取“=”）及不等式a²+b²≥2ab（當(dāng)a=b時(shí)取“=”），以及不等式的性質(zhì)便可判斷每個(gè)不等式是否成立，從而找出正確選項(xiàng)．

解答 解：∵a，b∈（0，+∞）；
∴A.$a+b≥2\sqrt{ab}$，當(dāng)a=b時(shí)取“=”；
$2\sqrt{ab}+\frac{1}{\sqrt{ab}}≥2\sqrt{2}$，當(dāng)ab=$\frac{1}{2}$時(shí)取“=”；
∴$a+b+\frac{1}{\sqrt{ab}}≥2\sqrt{ab}+\frac{1}{\sqrt{ab}}≥2\sqrt{2}$，當(dāng)$a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)取“=”；
∴該不等式成立；
B.$a+b≥2\sqrt{ab}$，當(dāng)a=b時(shí)取“=”；
$\frac{1}{a}+\frac{1}≥\frac{2}{\sqrt{ab}}$，當(dāng)a=b時(shí)取“=”；
∴$（a+b）（\frac{1}{a}+\frac{1}）≥4$，當(dāng)a=b時(shí)取“=”；
∴該不等式成立；
C．a(chǎn)²+b²≥2ab，當(dāng)a=b時(shí)取“=”；
∴$\frac{{a}^{2}+^{2}}{\sqrt{ab}}≥\frac{2ab}{\sqrt{ab}}=2\sqrt{ab}$，當(dāng)a=b時(shí)取“=”；
∴該不等式成立；
D.$a+b≥2\sqrt{ab}$，當(dāng)a=b時(shí)取“=”；
∴$\frac{1}{a+b}≤\frac{1}{2\sqrt{ab}}$；
∴$\frac{2ab}{a+b}≤\sqrt{ab}$，當(dāng)a=b時(shí)取“=”；
∴該不等式不成立．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 考查基本不等式：a+b$≥2\sqrt{ab}$，當(dāng)a=b時(shí)取“=”，及不等式：a²+b²≥2ab，當(dāng)a=b時(shí)取“=”，在應(yīng)用這兩個(gè)不等式時(shí)需判斷等號(hào)能否取到，以及不等式的性質(zhì)．