17.某房地產(chǎn)開發(fā)公司計劃在一樓區(qū)內(nèi)建造一個長方形公園ABCD,公園由長方形的休閑區(qū)A1B1C1D1(陰影部分)和環(huán)公園人行道組成.已知休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為4000平方米,人行道的寬分別為4米和10米.
(1)若設(shè)休閑區(qū)的長A1B1=x米,求公園ABCD所占面積S關(guān)于x的函數(shù)S(x)的解析式;
(2)要使公園所占面積最小,休閑區(qū)A1B1C1D1的長和寬該如何設(shè)計?并求出面積最小值.

分析 (1)利用休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為4000平方米,表示出${B_1}{C_1}=\frac{4000}{x}$米,進(jìn)而可得公園ABCD所占面積S關(guān)于x的函數(shù)S(x)的解析式;
(2)利用基本不等式確定公園所占最小面積,即可得到結(jié)論.

解答 解:(1)由A1B1=x米,知${B_1}{C_1}=\frac{4000}{x}$米,
∴$S=(x+20)(\frac{4000}{x}+8)$=$4160+8x+\frac{80000}{x}(x>0)$;
(2)$S=4160+8x+\frac{80000}{x}≥4160+2\sqrt{8x•\frac{80000}{x}}=5760$,
當(dāng)且僅當(dāng)$8x=\frac{80000}{x}$,即x=100時取等號,
∴要使公園所占面積最小,休閑區(qū)A1B1C1D1的長為100米、寬為40米,面積最小值為5760.

點評 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,考查基本不等式的運用,是中檔題.

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