Question

請您設計一個帳篷，它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐（如圖所示）．試問當帳篷的頂點O到底面中心O₁的距離為多少時，帳篷的體積為16

3

？

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,組合幾何體的面積、體積問題

專題：空間位置關系與距離

分析：設OO₁為xm，則1＜x＜4，設題設可得正六棱錐底面邊長為

32-(x-1)2

=

8+2x-x2

，從而帳篷的體積為V（x）=

2 3

2

(8+2x-x2)[

1

3

(x-1)+1]=

3

2

(16+12x-x3)，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出當OO₁為2m時，帳逢的體積最大，為16

3

m³．

解答： 解：設OO₁為xm，則1＜x＜4，
設題設可得正六棱錐底面邊長為（單位：m）

32-(x-1)2

=

8+2x-x2

，
于是底面正六邊形的面積為（單位：m²）
6•

3

4

•(

8+2x-x2

)2=

2 3

2

(8+2x-x2)，
帳篷的體積為（單位：m³）
V（x）=

2 3

2

(8+2x-x2)[

1

3

(x-1)+1]=

3

2

(16+12x-x3)，
求導數(shù)，得V′(x)=

3

2

(12-3x2)，
令V′（x）=0，解得x=-2（不合題意，舍去），x=2
當1＜x＜2時，V′（x）＞0，V（x）為增函數(shù)，
當2＜x＜4時，V′（x）＜0，V（x）為減函數(shù)
所以當x=2時，V（x）最大，
此時V（x）=

3

2

(16+12x-x3)=16

3

．
故當OO₁為2m時，帳逢的體積最大，為16

3

m³．

點評：本題考查當帳篷的頂點O到底面中心O₁的距離為多少時，帳篷的體積為16

3

的求法，是中檔題，解題時要注意幾何體體積的求法和導數(shù)性質(zhì)的合理運用．