Question

3．已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}\\ y=-3t+2\end{array}\right.$（t為參數(shù)t∈R）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．
（1）求直線(xiàn)l的普通方程與曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程．
（2）求曲線(xiàn)C上的點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）直線(xiàn)l的參數(shù)方程消去t，能求出直線(xiàn)l的普通方程；曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為ρ²=2ρsinθ，由此能求出曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程．
（2）圓心（0，1）到直線(xiàn)l的距離d=2，由此能求出曲線(xiàn)C上的點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離的最小值和最大值．

解答 解：（1）∵直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}\\ y=-3t+2\end{array}\right.$（t為參數(shù)t∈R），
∴消去t，得直線(xiàn)l的普通方程為：$\sqrt{3}x+y-5=0$…2分，
∵曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即ρ²=2ρsinθ
∴曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-2y=0或x²+（y-1）²=1…4分．
（2）圓心（0，1）到直線(xiàn)l的距離為$d=\frac{|1-5|}{2}=2$
∴曲線(xiàn)C上的點(diǎn)到直線(xiàn)l的最大距離為2+1=3．…8分，
最小距離為2-1=1．…10分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)的普通方程、曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程的求法，考查圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離和最小距離的求法，考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．