Question

19．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{ex-2{e^x}}}{{{e^{x+1}}}}$，g（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）在區(qū)間[2，4]上的最小值；
（Ⅱ）證明：對(duì)任意m，n∈（0，+∞），都有g(shù)（m）≥f（n）成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出g（x）在[2，4]上的最小值即可；
（Ⅱ）求出g（m）的最小值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最大值，從而證出結(jié)論即可．

解答 （Ⅰ）解：由g（x）=xlnx，可得g'（x）=lnx+1．
當(dāng)$x∈（0，\frac{1}{e}）$，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)$x∈（\frac{1}{e}，+∞）$，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增．
所以函數(shù)g（x）在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞增，
又g（2）=2ln2，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上的最小值為2ln2．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知g（x）=xlnx（x∈（0，+∞））在$x=\frac{1}{e}$時(shí)取得最小值，
又$g（\frac{1}{e}）=-\frac{1}{e}$，可知$g（m）≥-\frac{1}{e}$．
由$f（x）=\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$，可得$f'（x）=\frac{1-x}{e^x}$，
所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
所以函數(shù)f（x）（x＞0）在x=1時(shí)取得最大值，
又$f（1）=-\frac{1}{e}$，可知$f（n）≤-\frac{1}{e}$，
所以對(duì)任意m，n∈（0，+∞），都有g(shù)（m）≥f（n）成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．