Question

19．正方形的四個頂點都在函數(shù)y=x³+mx的圖象上，若滿足條件的正方形只有一個，則實數(shù)m=-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)正方形ABCD對角線AC所在的直線方程為y=kx，則其斜率唯一確定，轉(zhuǎn)化為二元方程只有唯一實數(shù)根，利用根的判別式求解即可．

解答 解：設(shè)正方形ABCD對角線AC所在的直線方程為y=kx（k≠0），
則對角線BD所在的直線方程為y=-$\frac{1}{k}$x．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y={x}^{3}+mx}\end{array}\right.$，解得x²=k-m，
所以AO²=x²+y²=（1+k²）x²=（1+k²）•（k-m），
同理，BO²=[1+（-$\frac{1}{k}$）²]•（-$\frac{1}{k}$-m）=-$\frac{1+{k}^{2}}{{k}^{2}}$•（$\frac{1}{k}$+m），
又因為AO²=BO²，所以k³-k²m+$\frac{1}{k}$+m=0．
即k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$-m（k-$\frac{1}{k}$）=0，即（k-$\frac{1}{k}$）²-m（k-$\frac{1}{k}$）+2=0．
令k-$\frac{1}{k}$=t得t²-mt+2=0
因為正方形ABCD唯一確定，則對角線AC與BD唯一確定，
于是k-$\frac{1}{k}$值唯一確定，
所以關(guān)于t的方程t²-mt+2=0有且只有一個實數(shù)根，
又k-$\frac{1}{k}$=t∈R．
所以△=m²-8=0，即m=±2$\sqrt{2}$．
因為x²=k-m＞0，所以m＜k；
又-$\frac{1}{k}$-m＞0，所以m＜-$\frac{1}{k}$，故m＜0．
因此m=-2$\sqrt{2}$；
反過來m=-2$\sqrt{2}$時，t=-$\sqrt{2}$，k-$\frac{1}{k}$=-$\sqrt{2}$，
于是k=$\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，-$\frac{1}{k}$=$\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$；
或k=$\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$，-$\frac{1}{k}$=$\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$．
于是正方形ABCD唯一確定．
故答案為：-2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查函數(shù)的解析式的求法以及導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性，不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力．