Question

13．設(shè)極坐標(biāo)的極點(diǎn)是直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸是x軸的正半軸，取相同的單位長度，已知直線1的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，且α≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z），圓C的極坐標(biāo)方程為p=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），且圓C與直線l不相交．
（I）求直線l的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=-\frac{2}{\sqrt{a}}}\end{array}\right.$ （a為參數(shù)），點(diǎn)P在曲線C₁上．求點(diǎn)P到直線1距離的最小值及取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出直線和圓C的直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立方程組，圓C與直線l不相交，能求出直線l的普通方程．
（Ⅱ）曲線C₁消去參數(shù)得曲線C₁的普通方程為${y}^{2}=\frac{4}{x}$，y＜0．設(shè)P（x₀，-$\frac{2}{\sqrt{{x}_{0}}}$），由此利用點(diǎn)P到直線距離公式能求出點(diǎn)P到直線1距離的最小值及取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）∵直線1的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，且α≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z），
∴$\frac{y}{x}$=$\frac{tsinα}{tcosα}$=tanα，設(shè)k=tanα，∴y=kx．
∵圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）=2cosθ-2sinθ，
∴ρ²=2ρcosθ-2ρsinθ，
∴圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-2x+2y=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x+2y=0}\end{array}\right.$，得（k²+1）x²+（2k-2）x=0，
∵圓C與直線l不相交，∴△=（2k-2）²≤0，解得k=1，
∴直線l的普通方程為y=x．
（Ⅱ）∵曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=-\frac{2}{\sqrt{a}}}\end{array}\right.$ （a為參數(shù)），
∴消去參數(shù)得曲線C₁的普通方程為${y}^{2}=\frac{4}{x}$，y＜0．
∵點(diǎn)P在曲線C₁上，∴設(shè)P（x₀，-$\frac{2}{\sqrt{{x}_{0}}}$），
∴點(diǎn)P到直線l：x-y=0距離d=$\frac{|{x}_{0}+\frac{2}{\sqrt{{x}_{0}}}|}{\sqrt{2}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$|$3\sqrt{{x}_{0}•\frac{1}{\sqrt{{x}_{0}}}•\frac{1}{\sqrt{{x}_{0}}}}$|=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)${x}_{0}=\frac{1}{\sqrt{{x}_{0}}}$，即x₀=1時(shí)，點(diǎn)P到直線1距離的最小值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，-2）．

點(diǎn)評 此題主要考查直線參數(shù)方程化一般方程，及直線與曲線相交的問題，在此類問題中一般可用聯(lián)立方程式后用韋達(dá)定理求解即可，屬于綜合性試題有一定的難度．