Question

18．已知點Q在圓x²+y²=1上，過點Q作x軸的垂線段MQ，垂足為M，動點P滿足：$\overrightarrow{MP}=\sqrt{2}\overrightarrow{MQ}$．當點Q在圓上運動時，記動點P的軌跡為曲線Γ．
（Ⅰ）求曲線Γ的方程和焦點坐標；
（Ⅱ）過原點的直線與曲線Γ相交于A、B兩點，過點A作y軸的垂線，垂足為C，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）相關點代入法求軌跡方程．（Ⅱ）直線與方程聯(lián)立，求出交點的橫坐標，表示出三角形的面積并通過函數(shù)求出最值．

解答 解：（Ⅰ）設Q（x₀，y₀），P（x，y）則M（x₀，0），$\overrightarrow{MP}=（x-{x}_{0，}y）$，$\overrightarrow{MQ}=（0，{y}_{0}）$
由$\overrightarrow{MP}=\sqrt{2}\overrightarrow{MQ}$，得$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}_{0}=0}\\{y=\sqrt{2}{y}_{0}}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=x}\\{{y}_{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}y}\end{array}\right.$
代入圓的方程中，得P點的軌跡方程：${x^2}+\frac{y^2}{2}=1$
所以曲線Γ是焦點在y軸上的橢圓，焦點坐標分別為（0，1）與（0，-1）…（4分）
當AB的斜率存在時，設AB的方程為：y=kx與Γ的方程聯(lián)立，
消去y，整理得$x=±\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{{k^2}+2}}}$，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則$|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{{2\sqrt{2}}}{{\sqrt{{k^2}+2}}}，|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{{2\sqrt{2}|k|}}{{\sqrt{{k^2}+2}}}$|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}{-{x}_{2}）}^{2}+（{y}_{1}{-{y}_{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{8（{k}^{2}+1）}}{\sqrt{{k}^{2}+2}}$，…（8分）
設$C（0，\frac{{\sqrt{2}k}}{{\sqrt{{k^2}+2}}}）$，則點C到直線AB的距離$d=\frac{{\sqrt{2}|k|}}{{\sqrt{（{k^2}+1）（{k^2}+2）}}}$，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}|AB|d=\frac{2|k|}{{k}^{2}+2}$…（10分）
當k=0時，S=0，當k≠0時$S=\frac{2}{{|k|+\frac{2}{|k|}}}≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，當$k=±\sqrt{2}$時取等號
故三角形ABC面積的最大值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（12分）

點評 本題主要考查（Ⅰ）相關點代入法求軌跡方程．（Ⅱ）直線與方程聯(lián)立，求出交點的橫坐標，表示出三角形的面積并通過函數(shù)求出最值